【编程向】学习一点算法和数学

有这么一道题：

A 从 1-100 之间选一个数字，B 猜数字，A 告诉 B 大了还是小了。

如果 B 一次就猜中，A 给 B 50 块钱；第两次猜中，给 B 40 块钱；第三次猜中给 B 30 块钱，以此类推，20 块，10 块，0 块，第七次猜中 B 给 A 10 块，第八次猜中 B 给 A 20块，类推下去。

请问：你会和我玩这个游戏吗？

先说答案：先确定玩几局，5 局以内，心情好就玩，心情不好就不玩。5 局以上，玩！！

答案解析：这道题的 B 期望值是 2.0 元。每玩一局的期望是赚到 2 块钱，5 局大概小赚那么几块钱。

过程解析

知识架构

1. 概率学
2. 积分
3. 算法-二分法
4. 归纳学

概率学

1-100 随机挑一个数，

猜一次就猜中的概率是：1%。

猜第二次猜中的概率是：2%。

第一次猜 x ，第二次猜 y

第一次猜后各种情况概率：

• 猜中 1%
• 大了 （100-x）/100，猜中概率 1/（100-x）
• 小了 （x-1）/100，猜中概率 1/（x-1）

总的猜中率： P = 1% + （（100-x）/100 1/（100-x）） + （（x-1）/100 1/（x-1）） = 3%

如果 x 是边界值，那么需要去掉一个加项，猜中率变为 2%。

猜第三次猜中的概率是 4%，总的猜中率是 7%。

概率计算可参考猜两次的过程，计算方式类似。

猜第四次猜中的概率是 8%，总的猜中率是 15%。

猜第五次猜中的概率是 16%，总的猜中率是 31%。

猜第六次猜中的概率是 32%，总的猜中率是 63%。

猜第七次猜中的概率是 37%（100%-1%-2%-4%-8%-16%-32%），总的猜中率是 100%。

收益期望值是：

50x1% + 40x2% + 30x4% + 20x8% + 10x16% + 0 + -10x37% = 2.0

这里差点把我自己给绕进去……

按照科学的办法是这样的，科学期望值是 2 块钱。

反思

这，出的题怎么还赔钱了呢？

问题出在哪儿呢？

哦哦哦，我们把猜第六次猜中的赔率去掉，把第六次猜中改为“给我10元”，第七次猜中改为“给我20元”。

这样一个改动，嗯，收益的期望值立马变成了 -4.9 元。

嗯，完美，玩这个游戏的时候无论当 A 还是 B 都有了解决方案。

实际上，这个游戏玩起来，一点没有意思。

选数的时候 A 可以无限作弊，无论 B 说啥数字，都说没猜中。

实际是 A 没有固定这个选的数字，无论 B 说啥数字，给归到大范围区间去，永远的拖到第 7 次猜中。

B 也可以放水，他可以从 1 开始，然后逐一的加 1 报数，极限的情况是第 100 次才猜中。A 当然也可以反制，无论 B 说啥数字都直接告诉他猜中了。